Наука.mk

Често се среќаваме со функции кои се многу тешки за аналитичко интегрирање или чиј неопределен интеграл не може да се изрази преку елементарните функции (пример ). Функциите кои се интегрираат аналитички се исклучок, а не правило. Постојат повеќе алгоритми кои нумерички ги пресметуваат интегралите, меѓутоа овој запис ќе зборува само за дел од нив. Денес, ваквите пресметки се прават со помош на компјутер, па со секој метод приложена е и функција во програмскиот јазик C која ја нумерички ја интегрира функцијата со прототип

float f(float x);

на истиот интервал. Да претпоставиме дека имаме функција која сакаме да ја интегрираме на интервалот , односно сме заинтересирани за . Главната логика на алгоритмите е

1. да се раздели интервалот на повеќе субинтервали
2. да се пресмета плоштината на секој од овие интервали (помеѓу x-оската и функцијата)
3. да се соберат сите плоштини

Во оваа статија интервалот ќе го делиме на еднакви субинтервали од големина , .  Плоштината на секој субинтервал ја пресметуваме со приближување на функцијата со некоја друга која е лесно интеграбилна. Дел од алгоритмите кои користат линеарно приближување се:

• Правило на правоаголник

Плоштината на секој сегмент ја пресметуваме со помош на правоаголник со ширина и висина , односно .

float i_pravoagolnik(float a, float b, unsigned int n) {
/**
 * Ја интегрира f(x) на интервалот [a,b] a<b
 * користејќи n интервали
 */
 float p=0f, h=(b-a)/n;
 int i;
 for(i=0; i<n; i++) {
          /* не е оптимизирано за кодот да е појасен */
          p += f((a+i*h+a*(i+1)*h)/2)*h
 }

 return p;
}

Нешто попрецизен метод е:

• Правило на трапез

Како што налага името и сликата – за плоштините на субинтервалите се користи формула на трапез (основи паралелни на y-оската со должина и и висина ). Односно

float i_trapez(float a, float b, unsigned int n) {
/**
 * Ја интегрира f(x) на интервалот [a,b] a<b
 * користејќи n интервали
 */
 float p=0f, h=(b-a)/n;
 int i;
 for(i=0; i<n; i++) {
          /* не е оптимизирано за кодот да е појасен */
          p += ((f(a+i*h)+f(a+(i+1)*h))/2)*h
 }

 return p;
}

Следен чекор е собирање на сите овие интервали, односно .

Ова се само најелементарните алгоритми за нумеричка интеграција на функции од една променлива кои користат линеарна интерполација. Понапредните алгоритми користат полиномна интерполација и интервалот не го делат на овој начин. Сликите се преземени од Википедија, каде што можете да прочитате повеќе за проблематиката.